Logaritma

Logaritma adalah sebuah operasi matematika yang sifatnya merupakan kebalikan dari eksponen atau perpangkatan. Secara umum, dasar dari logaritma adalah sebagai berikut :

^a log b = c ó a^c = b

dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0

a disebut bilangan pokok logaritma atau basis

b disebut bilangan yang dilogaritmakan

c disebut hasil logaritma

untuk basis atau bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis.

Contoh :

² log 8 = 3 ó 2³ = 8 ,    ⁵ log 125 = 3 ó 5³ = 125

Sifat - sifat rumus dasar logaritma :

1. ^a log a = 1

2. ^p log (a x b) = ^p log a + ^p log b

3. ^p log ¹/₂ = ^p log a – ^p log b
4. ^p log aⁿ = n x ^p log a
5. ^a log b = ^{p log b}/_{p log a
6.} ^a log b = ¹/_{b log a}

7. aⁿ log b^m = ^m/_n x ^a log b
8. ^a log b x ^b log c = ^a log c
9. a^{a log b} = b

Continue reading →

BAB 3

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

→ mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:

dimana a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ adalah bilangan real
Catatan:

Penyelesaian:

1. Metode grafik
2. Metode substitusi
3. Metode eliminasi
4. Metode gabungan substitusi-eliminasi

Contoh:

Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0


Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
  x + 2y = 14   +  (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum:

dimana a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂ dan d₃ adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z =   2  (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x +   y + z = 6
3x – 2y + z = 2   (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y =   8   (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}

Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Bentuk Umum:

Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax² + bx + c
ax² + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b² – 4.a.c = (b – m)² – 4.a.(c – n)

• D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
• D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
• D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata

→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:

Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x²
x² + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV

Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Bentuk umum:

Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax² + bx + c = px² + qx + r
(a – p)x² + (b – q)x + (c – r) = 0
Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)² – 4.(a – p).(c – r)

• D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
• D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
• D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real

→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh 1:

Substitusi persamaan1 ke 2:
x² – 2x – 3 = –x² – 2x – 5
x² – 2x – 3 + x² + 2x + 5 = 0
2x² + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x² + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b² – 4.a.c = 0² – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:
→ Cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT

Contoh 2:

Substitusi persamaan 1 ke 2:
x² – 2x = –1/2 x² + 4x – 6
Semua dikalikan 2:
2x² – 4x = –x² + 8x – 12
2x² – 4x + x² – 8x + 12 = 0
3x² – 12x + 12 = 0
Semua dibagi 3:
x² – 4x + 4 = 0
(x – 2).(x – 2) = 0
x = 2 → y = x² – 2x = 2² – 2.2 = 4 – 4 = 0
Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)}
Grafik:

Continue reading →

BILANGAN

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

1. Bilangan asli adalah bilangan-bilangan yang terdapat pada garis bilangan berikut disebut bilangan asli. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif(integer positif).

{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,..........}

2. Bilangan Cacah adalah Bilangan asli dengan tambahan bilangan 0

{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9........}

3. Bilangan negatif ( integer negatif ) adalah bilangan yang letaknya disebelah kiri nol ( 0 )

Contoh :

-1 , -2, -3, -4, -5,...........

4. Bilangan Bulat adalah bilangan asli, bentuk negatif dari bilangan asli tersebut, dan bilangan 0.

Contoh :

{ ........,-3,-2,-1,0,1,2,3,.........}

5. Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang erupakan rasio (pembagian) dari dua angka ( integer )

Contohnya adalah ¾ , 2/3, ½, 5/4, dll.

Pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilanga rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 } semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

6. Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional adalah . nilai taksiran nilai dari adalah 1,414. juga merupakan bilangan irasional . bilanga tersebut merupakan hasil pembagian dari keliling lingkaran dengan diameter dan taksirannya adalah 3,14.

7. Bilangan imajiner adalah apabilan sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata( dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional ), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. Bilangan imajiner dinyatakan dengan b i, b e R dan i = atau i² = -1

Bilangan komplek adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R , b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.

Continue reading →

Fungsi Kuadrat

1. 
   

   
   
   1. Pengertian

   
   

   Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

   Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

   Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

   Contoh 1:

   Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

   Ditanyakan:

   nilai pembuat nol fungsi f

   nilai f untuk x = 0 , x = –2

   Jawab:

   Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

   x² – 6 x – 7 = 0

   (x – 7) (x + 1) = 0

   x = 7  atau  x = –1

   Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

   Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

   x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

   Contoh 2:

   Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

   Jawab :

   Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

   D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

   p² – 2p – 35 = 0

   (p – 7) (p + 5) = 0

   p = 7   atau   p = –5

   Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

   Periksalah jawaban itu.

   2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

   Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

   1)       f(x) = x² – 2x – 3

   = x² – 2x + 1 – 4

   =(x – 1)² – 4

   Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

   Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

   2)       f(x) = –x² + 4x + 5

   = –x² + 4x – 4 + 9

   = –(x² – 4x + 4) + 9

   = –(x – 2)² + 9

   Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

   Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

   Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

   Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

   Dengan uraian di atas, diperoleh:

   Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

   Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

   Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

   Contoh:

   Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

   Jawab:

   f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

   Nilai minimum fungsi f = 5

   
   

   
   

   
   

   
   
   

Continue reading →