Fungsi Kuadrat

1. 
   

   
   
   1. Pengertian

   
   

   Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.

   Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

   Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

   Contoh 1:

   Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

   Ditanyakan:

   nilai pembuat nol fungsi f

   nilai f untuk x = 0 , x = –2

   Jawab:

   Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

   x² – 6 x – 7 = 0

   (x – 7) (x + 1) = 0

   x = 7  atau  x = –1

   Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1

   Untuk  x = 0   maka f(0) = –7

   x = –2  maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

   Contoh 2:

   Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

   Jawab :

   Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

   D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

   p² – 2p – 35 = 0

   (p – 7) (p + 5) = 0

   p = 7   atau   p = –5

   Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

   Periksalah jawaban itu.

   2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

   Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

   1)       f(x) = x² – 2x – 3

   = x² – 2x + 1 – 4

   =(x – 1)² – 4

   Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

   Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

   2)       f(x) = –x² + 4x + 5

   = –x² + 4x – 4 + 9

   = –(x² – 4x + 4) + 9

   = –(x – 2)² + 9

   Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

   Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

   Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

   Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c

   Dengan uraian di atas, diperoleh:

   Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

   Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk

   Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk

   Contoh:

   Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

   Jawab:

   f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7

   Nilai minimum fungsi f = 5